摘要：利用拉格朗日法和假設(shè)模態(tài)方法建立了末端柔性的兩臂漂浮基空間機(jī)器人的非線性動(dòng)力學(xué)方程．通過(guò)坐標(biāo)變換，推導(dǎo)出一種新的以可測(cè)關(guān)節(jié)角為變量的全局動(dòng)態(tài)模型，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用基于模型的非線性解耦反饋控制方法得到關(guān)節(jié)相對(duì)轉(zhuǎn)角與柔性臂的彈性變形部分解耦形式控制方程．最后，討論了柔性臂漂浮基空間機(jī)器人的軌跡跟蹤問(wèn)題，并通過(guò)仿真實(shí)例計(jì)算，表明該模型轉(zhuǎn)換及控制方法對(duì)于柔性臂漂浮基空間機(jī)器人末端軌跡跟蹤控制的有效性． 關(guān)鍵詞：柔性臂漂浮基空間機(jī)器人；動(dòng)力學(xué)；模型轉(zhuǎn)換；軌跡跟蹤控制 Modeling and Trajectory Tracking Control of a Free-Floating Space Robot with Flexible M anipulators —HONG Zai．di ，YUN Chao ，CHEN Li （1．Beihang University，Beijing 100083，China； 2．Fuzhou University。Fuzhou 350002，China） Abstract：Nonlinear dynamic equations of a free——floating space robot with two manipulators and a flexible end—manipulator are established based on Lagrange and assumed mode methods．Its new global dynamic model in terms of measured joints is derived by coordinate transformation，and the decoupled control quations for joint relative angles and elastic parts of the flexible manipulator are obtained with the model—based nonlinear decoupling feedback control method．Trajectory tracking control of the free floating space robot with flexible manipulators is iscussed，and the numerical simulation shows that the proposed model transformation and control method is eficient in trajectory tracking control of free floating space robot with flexible manipulators． Keywords：free—floating space robot with flexible manipulators；dynamics；model transformation；trajectory tracking control 1 引言（Introduction） 漂浮基空間機(jī)器人是機(jī)器人的一個(gè)重要發(fā)展方向，其主要任務(wù)是在宇宙空間代替宇航員完成捕捉失效衛(wèi)星、建造空間站、維修空間站設(shè)施等工作，其原理模型如圖1所示．為節(jié)省控制燃料、增加空間機(jī)器人的有效使用壽命，進(jìn)而減少發(fā)射費(fèi)用，空間機(jī)器人在操作過(guò)程中載體位置、姿態(tài)均不受控制，且一般使用質(zhì)量輕、臂展大的柔性操作臂．在這種情況下，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)與載體的位姿之間、柔性臂的剛體大位移和彈性振動(dòng)之間存在著強(qiáng)烈的動(dòng)力學(xué)耦合作用．在操作過(guò)程中，機(jī)械臂的相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起載體位姿的變化，柔性臂的彈性振動(dòng)影響關(guān)節(jié)、末端軌跡跟蹤精度．其突出特點(diǎn)表現(xiàn)為：空間機(jī)器人為非完整動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程關(guān)于系統(tǒng)慣性參數(shù)呈非線性函數(shù)關(guān)系，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)Jacobi關(guān)系不僅與系統(tǒng)幾何參數(shù)有關(guān)，還與質(zhì)量等慣性參數(shù)以及柔性臂抗彎剛度有關(guān)．在上述情況下，在空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析及控制規(guī)律的設(shè)計(jì)中應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)彈性，這大大增加了控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)難度．目前，空間機(jī)器人的研究工作已開(kāi)展了很多¨ J，值得注意的是，其中大部分研究工作是針對(duì)剛性臂的空間機(jī)器人進(jìn)行的，而針對(duì)柔性臂空間機(jī)器人的研究相對(duì)較少．顧曉勤 副提出了消除彈性變形對(duì)負(fù)載位姿影響的方法，并進(jìn)一步尋求最小驅(qū)動(dòng)力矩及抑制彈性振動(dòng)的控制規(guī)律。本文應(yīng)用拉格朗Et建模方法和假設(shè)模態(tài)柔性變形描述方法建立末端柔性的兩臂漂浮基空間機(jī)器人的非線性動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)坐標(biāo)變換 J，推導(dǎo)出一種新的以可測(cè)關(guān)節(jié)角為變量的全局動(dòng)態(tài)模型．在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用基于模型的非線性解耦反饋控制理論，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行部分線性化，實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)相對(duì)轉(zhuǎn)角與柔性臂的彈性變形部分解耦，從而由剛性臂空間機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法確定關(guān)節(jié)角的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，進(jìn)而利用柔性機(jī)械臂的力矩控制方法求出關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩，以保證臂末端的實(shí)際軌跡達(dá)到跟蹤的期望軌跡．通過(guò)仿真實(shí)例計(jì)算，證明了該模型轉(zhuǎn)換及控制方法在柔性臂漂浮基空間機(jī)器人應(yīng)用中的有效性． 2 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)（Kinematics and dynamics） 2．1 模型建立 不失一般性，考慮做平面運(yùn)動(dòng)的末端柔性的兩臂漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)，如圖1．系統(tǒng)由漂浮的剛性載體B[sub]0[/sub] 剛性連桿B[sub]1[/sub] 和末端柔性連桿B[sub]2[/sub] 組成．建立各分體B[sub]i[/sub] 的聯(lián)體坐標(biāo)系（0[sub]i[/sub] 一x[sub]i[/sub]y[sub]i [/sub]）（i=0，1，2），其中0[sub]0[/sub]與b[sub]0[/sub]的質(zhì)心0[sub]c0[/sub]重合，0[sub]1[/sub] 、0[sub]2[/sub]：分別與連接b[sub]0[/sub]與B[sub]1[/sub]、B[sub]1[/sub]與B[sub]2[/sub]的轉(zhuǎn)動(dòng)鉸中心重合； x[sub]0[/sub]與0[sub]0[/sub]0[sub]1[/sub]重合， x[sub]1[/sub]為機(jī)械臂的對(duì)稱軸，x[sub]2[/sub]是機(jī)械臂B[sub]2[/sub]未變形時(shí)的對(duì)稱軸，且在運(yùn)動(dòng)中始終與柔性梁在0[sub]2[/sub]相切．設(shè)0[sub]1[/sub]在0[sub]0[/sub]x[sub]0[/sub]軸上與0[sub]0[/sub]的距離為l[sub]0[/sub]，b[sub]1[/sub]質(zhì)心0[sub]c1[/sub]沿0[sub]1[/sub]x[sub]1[/sub] 的長(zhǎng)度為a，B[sub]i[/sub]沿0[sub]i[/sub]x[sub]i[/sub]的長(zhǎng)度為l[sub][/sub]（i=1，2）；分體B[sub]i[/sub]質(zhì)量和中心慣量分別為m[sub]i[/sub]和l[sub]i[/sub]（i=0，1），且柔性蓮桿線密度為P． 任取一點(diǎn)0建立系統(tǒng)參考慣性坐標(biāo)系（0-XY），各分體沿（ x，y）平面做平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)e[sub]i [/sub]為x[sub]i[/sub]（ =0，1，2）軸的基矢量，矢量e[sub]3[/sub] 為Y[sub]2[/sub]軸的基矢量．忽略柔性臂軸向變形，由Euler—Bemolli梁理論，柔性臂的彈性位移“模態(tài)函數(shù)展開(kāi)表示為： 其中φ[sub]i[/sub]（x[sub]2[/sub]）為柔性臂第i階模態(tài)函數(shù)，δ[sub]i[/sub]（t）為與φ[sub]i[/sub]（x[sub]2[/sub]）對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)． 設(shè)各分體質(zhì)心0[sub]ci[/sub]相對(duì)0的矢徑為r[sub]i[/sub]（i=0，1），柔性臂上任一點(diǎn)P相對(duì)0的矢徑為r．由系統(tǒng)幾何關(guān)系得： 設(shè)載體、剛性連桿、柔性連桿的動(dòng)能分別為T(mén)i（i=0，1，2），系統(tǒng)的總動(dòng)能為T(mén)，由理論力學(xué)知識(shí)易得到： 則本文中變量上標(biāo)“·”和“[sup]..[/sup]”分別表示相應(yīng)變量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。 忽略重力的作用，可認(rèn)為整個(gè)系統(tǒng)重力勢(shì)能為零；且柔性機(jī)械臂為線彈性變形，故系統(tǒng)總勢(shì)能等于柔性連桿的彎曲應(yīng)變能．由材料力學(xué)相關(guān)理論，并取系統(tǒng)廣義模態(tài)坐標(biāo)前兩項(xiàng)得： 其中EI為柔性臂抗彎剛度。故系統(tǒng)的拉氏函數(shù)為L(zhǎng)＝T[sub]0[/sub]＋T[sub]1[/sub]＋T[sub]2[/sub]－V. 假設(shè)空間機(jī)器人系統(tǒng)在操作過(guò)程中處在漂浮狀態(tài)，載體的姿態(tài)和位置均無(wú)控制，則設(shè)變量為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，其中x[sub]0[/sub]、y[sub]0[/sub]為矢徑r[sub]0[/sub]分別向X 、Y軸投影的值，α為x[sub]0[/sub]軸相對(duì)X軸的偏角，θ[sub]1[/sub]為x[sub]1[/sub]軸相對(duì)x[sub]0[/sub]軸的轉(zhuǎn)角，θ[sub]2[/sub]為x[sub]2[/sub]軸相對(duì)x[sub]1[/sub] 軸的轉(zhuǎn)角，因此相應(yīng)的廣義力為其中為o[sub]1[/sub]、o[sub]2[/sub]鉸關(guān)節(jié)控制力矩．由于空間機(jī)器人系統(tǒng)在操作過(guò)程中處在漂浮狀態(tài)，載體的姿態(tài)和位置均無(wú)控制，且忽略重力的影響，空間機(jī)器人系統(tǒng)為無(wú)外力作用的自由浮動(dòng)無(wú)根多體系統(tǒng)，遵守對(duì)（0-XY）的動(dòng)量守恒及相對(duì)0點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒關(guān)系，即系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)受到線動(dòng)量守恒及角動(dòng)量守恒關(guān)系的約束．不失一般性，設(shè)系統(tǒng)相對(duì)（0-XY）的初始動(dòng)量和相對(duì)0點(diǎn)的初始動(dòng)量矩均為零，載體、剛性機(jī)械臂和柔性機(jī)械臂相對(duì)于坐標(biāo)系（0-XY）的動(dòng)量分別為Q （i=0，1，2），系統(tǒng)總動(dòng)量Q-根據(jù)理論力學(xué)知識(shí)得： 則。將．將Q分別向X軸和Y軸投影，結(jié)合假設(shè)初始條件推導(dǎo)寫(xiě)成矩陣形式如下： 將拉氏函數(shù)和廣義力代入拉格朗日方程： 其中q[sub]i[/sub]為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， F[sub]i[/sub]為廣義坐標(biāo)q[sub]i[/sub] 相對(duì)應(yīng)的廣義力．不考慮結(jié)構(gòu)粘性阻尼，結(jié)合式（12），經(jīng)過(guò)推導(dǎo)并整理，可得到如下封閉形式的柔性臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)非線性方程； 其中，為4×4正定、對(duì)稱、時(shí)變廣義質(zhì)量陣，，包含哥氏力、離心力和彈性力，為變量耦合4×1列陣．記M[sub]4×4[/sub]= 2.2 模型轉(zhuǎn)化 式（14）給出模型夫于變量0的方程，但在實(shí)際系統(tǒng)中θ的方程，但在實(shí)際系統(tǒng)中，θ[sub]1[/sub]θ[sub]2[/sub]只能得到由編碼器測(cè)的角位移θ[sub]c[/sub]： 3 軌跡跟蹤控制（Trajectory tracking contro1） 式（16）是關(guān)于σ 、θ[sub]c[/sub]、δ變量的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)于臂末端軌跡跟蹤控制系統(tǒng)，由于彈性變形變量是不可觀i貝4的，利用非線性解耦反饋控制方法對(duì)式（16）進(jìn)行部分線性化．式（16）寫(xiě)成兩式： 式（2O）在形式上與剛性臂漂浮基空間機(jī)器人的方程相似，類似于剛性臂漂浮基空間機(jī)器人的廣義質(zhì)量陣；類似于剛性臂漂浮基空間機(jī)器人的非線性哥氏力、離心力項(xiàng)． 設(shè)基于模型的控制規(guī)律為： 其中為給定的期望關(guān)節(jié)角軌跡、角速度和角加速度規(guī)律．式（19）一（23）導(dǎo)出柔性臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的控制方程如下： 式（24）對(duì)應(yīng)于機(jī)械臂關(guān)節(jié)變量θ[sub]c[/sub]的線性方程組，式（25）對(duì)應(yīng)于彈性變量δ的耦合非線性方程組．式（2O）、（22）一（25）構(gòu)成了基于非線性解耦反饋控制的軌跡跟蹤控制方案． 設(shè)關(guān)節(jié)角偏差e（t）=θ[sub]c[/sub]（t）一θ[sub]d[/sub]（t），由式（24）可得偏差方程如下： 選擇適宜的K[sub]p[/sub]和K[sub]v[/sub] 可使式（26）完全解耦，進(jìn)而使機(jī)械臂關(guān)節(jié)角θ[sub]c[/sub]跟蹤期望的關(guān)節(jié)角軌跡θ[sub]d[/sub]．柔性臂空間機(jī)器人末端軌跡跟蹤過(guò)程為：利用剛性臂空間機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出與臂末端軌跡對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)規(guī)律，再由帶柔性臂空間機(jī)器人的力矩控制方程確定關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩，輸入到系統(tǒng)中得到柔性臂空間機(jī)器人末端跟蹤期望軌跡的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡． 4 仿真算例（Simulation example） 設(shè)空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)如下： 反饋增益矩陣 K[sub]p[/sub]=diag[22]，K[sub]v[/sub]=diag[160 160]． 本系統(tǒng)柔性機(jī)械臂可視為懸臂梁，由振動(dòng)理論可知，懸臂梁的主振型函數(shù)為： 取前二階模態(tài)（i=1，2），由懸臂梁的振動(dòng)模態(tài)可知： 仿真采用末端期望軌跡規(guī)律： 仿真結(jié)果如下： 5 結(jié)論（Conclusion） 由于漂浮基空間機(jī)器人采用輕質(zhì)細(xì)長(zhǎng)機(jī)械臂，結(jié)構(gòu)彈性在軌跡跟蹤控制規(guī)律中的設(shè)計(jì)中必須予以考慮。在操作過(guò)程中，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)引起載體位姿的變化，柔性臂的振動(dòng)影響關(guān)節(jié)、末端軌跡跟蹤精度，這使得末端軌跡跟蹤十分困難。理論分析及仿真結(jié)果表明，本文所提出模型轉(zhuǎn)換及控制方法對(duì)于求解非線性、強(qiáng)耦合性的柔性臂漂浮基空間機(jī)器人末端的軌跡跟蹤控制是有效的，而且實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡與設(shè)定期望相比誤差也較小，已經(jīng)滿足控制設(shè)計(jì)要求。本文所述的模型轉(zhuǎn)化方法給柔性臂浮基空間機(jī)器人反饋控制器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)帶來(lái)方便，可減少在實(shí)際控制中由于動(dòng)力學(xué)模型變量與實(shí)際檢測(cè)變量不同而引起的變量轉(zhuǎn)換，且可有效抑制柔性臂振動(dòng)． 進(jìn)一步仿真分析發(fā)現(xiàn)，為了滿足跟蹤誤差精度要求，可適當(dāng)調(diào)整K[sub]p[/sub] 、K[sub]v[/sub]值；增加K[sub]p[/sub]值，可以有效抑制機(jī)械臂末端的振動(dòng)并降低跟蹤誤差；在同等精度條件下， 。取值比在全剛性機(jī)械臂情形下尢從圖3可知，當(dāng)空間機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)，柔性臂將會(huì)出現(xiàn)一定的微振動(dòng)，這是考慮機(jī)械臂的彈性變形所引起的．本文的模型轉(zhuǎn)換及控制方法雖然是針對(duì)末端柔性的兩臂空間機(jī)器人系統(tǒng)提出的，但同樣適用于一般多柔性臂的空間機(jī)器人系統(tǒng)． [1] Papadopoulos E G，Dubwsky S．On the nature of control algorithms for free floating space manipulators[J] IEEE Transactions on Robotics and 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力（1961-），男，博士，教授．研究領(lǐng)域：多體系統(tǒng)動(dòng)力 學(xué)，空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制，非線性振動(dòng)及振動(dòng)控制．