Optimal Control for Linear Quadratic Systems Based on MATLAB

Zhang Ping

College of Automation and Electronic Engineering, Qingdao University of Science & Technology, Qingdao, China, 266042

Abstract: In this paper, single-stage inverted pendulum system using LQR optimal control, disturbance by increasing the system itself and the LQR controller, to change the weighting matrix R and Q, comparing simulation results by MATLAB simulation under an experimental environment, have a good control effect.

Key Words: Inverted Pendulum; LQR; Optimal control

0        引言

倒立擺系統(tǒng)是非線(xiàn)性、強(qiáng)耦合、多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)。在控制過(guò)程中，它能有效地反應(yīng)控制理論中諸如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、魯棒性、系統(tǒng)收斂速度、隨動(dòng)性以及跟蹤等問(wèn)題，是檢驗(yàn)各種控制理論的理想模型。線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制（Linear Quadratic Regulator，LQR）問(wèn)題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置，其優(yōu)勢(shì)在于控制方案簡(jiǎn)單，超調(diào)量小，且反應(yīng)速度快，該方法不僅對(duì)單級(jí)倒立擺系統(tǒng)能夠進(jìn)行有效控制，且已經(jīng)成功的應(yīng)用于直線(xiàn)雙倒立擺^[1]和雙足機(jī)器人的控制^[2]。

本文針對(duì)單級(jí)倒立擺系統(tǒng)，完成了具體的系統(tǒng)建模及LQR控制的MATLAB仿真，通過(guò)增加系統(tǒng)自身的擾動(dòng)及改變LQR控制器中加權(quán)陣R，對(duì)比仿真，得到了良好的控制效果。

1 單級(jí)倒立擺建模

實(shí)際的單級(jí)倒立擺系統(tǒng)比較復(fù)雜，除了各組成器件的非線(xiàn)性外，還受到各種干擾，為分析其本質(zhì)，需要對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化^[4]。簡(jiǎn)化約束條件如下：

（1）       將擺桿視為質(zhì)量均勻分布的剛體細(xì)桿；

（2）       各部分的摩擦力與相對(duì)速度成正比；

（3）       施加在滑塊上的驅(qū)動(dòng)力與加在功率放大器上的輸入電壓成正比，并無(wú)延時(shí)地加到滑塊上；

（4）       出皮帶輪與傳送帶之間無(wú)滑動(dòng)，傳送帶無(wú)延長(zhǎng)現(xiàn)象；

（5）       除滑塊與導(dǎo)軌之間的摩擦及擺桿轉(zhuǎn)軸的摩擦外其它摩擦及阻尼的影響均忽略。

對(duì)比仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)小車(chē)擺桿角度權(quán)重選定為合適的值，隨著小車(chē)位置權(quán)重的增加，小車(chē)位移系統(tǒng)階躍響應(yīng)超調(diào)減小，上升時(shí)間和調(diào)整時(shí)間也加快。與此同時(shí)，也引進(jìn)了一些振蕩。

5.2   加權(quán)矩陣R的研究

從降低控制系統(tǒng)能量要求優(yōu)先角度出發(fā)，讓Q不變，R減小。這時(shí)由Riccati方程求得的系統(tǒng)反饋增益陣K增大。例如R=0.01時(shí)，相應(yīng)的K=[-175.4699,-46.1765,-10.0000,-20.8841]。

改變加權(quán)陣Q后的響應(yīng)結(jié)果如圖6，控制力輸出曲線(xiàn)如圖7

對(duì)比仿真結(jié)果可以看出，調(diào)整時(shí)間與超調(diào)量減小，上升時(shí)間與穩(wěn)態(tài)誤差減小。但是系統(tǒng)穩(wěn)定性很差，時(shí)控過(guò)程噪聲很大。

6     結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，采用最優(yōu)控制中的LQR控制方法，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行局部的線(xiàn)性化，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)得到該方法作用于倒立擺系統(tǒng)是可行且有效的，同時(shí)分析了加權(quán)矩陣Q和R對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響。

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