摘要：針對粒子濾波(PF)中存在粒子貧化的現(xiàn)象，將粒子群優(yōu)化思想引入粒子濾波中。該方法先將采樣得到的粒子集通過聚類找出中心點，分別運用粒子群優(yōu)化每個聚類，使粒子集可以向后驗概率密度分布取值較大的區(qū)域運動，從而克服了粒子貧化的問題，并通過對粒子集的優(yōu)化，很大程度地降低了所需初始粒子的數(shù)目。實驗結果表明，該算法具有較高的預估精度和較好的魯棒性。

關鍵詞：粒子濾波；聚類；粒子群優(yōu)化；貝葉斯估計

1.引言

粒子濾波【1,2】是一種基于蒙特卡洛方法的貝葉斯濾波技術。該算法目前被廣泛應用于非線性、非高斯環(huán)境下的參數(shù)估計和狀態(tài)估計以及語音信號處理、目標跟蹤、自適應估計等領域。

基本的粒子濾波算法主要有重要性采樣、權值更新和重采樣三個步驟。由于在選取最優(yōu)重要概率密度函數(shù)時面臨諸多困難，因此采用次優(yōu)重要密度函數(shù)代替，因此常規(guī)粒子濾波方法存在一些問題：（1）樣本貧化問題。其原因是,重采樣時,復制保留了權值較大的粒子,權值小的粒子被剔除,這樣導致重采樣后的粒子幾乎都是少數(shù)幾個粒子的后代,粒子多樣性明顯減弱,不能充分表征后驗概率密度。過程噪聲較大時,貧化問題更為嚴重,甚至會造成樣本枯竭,即經(jīng)過幾個反復變成只有一個點。（2）計算的實時性問題。常規(guī)的粒子濾波方法需要大量的粒子才能保證估計精度，計算復雜度高，當系統(tǒng)的初始狀態(tài)未知時,需要大量的粒子才能實現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)預估。如果粒子集數(shù)目比較小,那么粒子可能并未分布在真實狀態(tài)附近,這樣經(jīng)過幾次迭代后,粒子很難收斂到真實狀態(tài)處，為此需要大量的初始化粒子。

為了解決上述問題，文獻[3]分析了最優(yōu)重要密度函數(shù)選取規(guī)則及困難；PittM和ShephardN從提議重要概率分布的選取角度,提出輔助變量粒子濾波器(APF)[4]，從而增加了粒子的多樣性,減小了重要性權的方差；Merwe等人提出Unscented粒子濾波器(UPF)[5],使用UKF產(chǎn)生PF的重要性分布,重要概率分布與真實的后驗概率分布更接近。該方法將最新的觀測值引入預測過程中,因此提高了常規(guī)粒子濾波的性能,但計算量也大大增加了。文獻[6]提出了基于差分演化的粒子濾波算法(DE-PF)，該算法通過對粒子進行差分變異和差分交叉等操作，提高了粒子的利用率，但是差分演化算法和遺傳算法一樣，需要經(jīng)過多代差分演化操作才能達到良好的濾波效果。

針對這一問題，本文在分析了粒子濾波方法不足的基礎上,將聚類和粒子群優(yōu)化算法引入粒子濾波采樣中,通過對粒子集的優(yōu)化，改善了樣本的分布,加速了粒子集的收斂,使得粒子濾波的性能得到很大的提高。

2粒子濾波算法

一般的狀態(tài)估計問題，可由下面的狀態(tài)空間模型描述：

其中，為先驗概率密度，是觀測量為時的似然概率密度，為后驗概率密度。從上式可知，貝葉斯定理是從先驗知識（先驗概率密度）開始，不斷利用后續(xù)新的觀測數(shù)據(jù)來修正先驗知識，從而得到修正后的未知量（后驗概率密度）的過程。先驗概率密度得到了在新觀測數(shù)據(jù)到來之前的所有未知狀態(tài)變量信息，似然概率密度表示了在實際觀測數(shù)據(jù)已知的前提下未知狀態(tài)變量出現(xiàn)的概率，即粒子濾波中粒子權值的大小。通過得到新觀測數(shù)據(jù)的修正，后驗概率密度比先驗概率密度更加接近被估計量的真實概率密度。

粒子濾波算法是貝葉斯估計框架下的序貫蒙特卡洛近似方法，它通過一系列帶有權值的粒子來近似當前狀態(tài)的后驗估計，并由粒子及其權值的加權和來估計當前的狀態(tài)。其本質(zhì)就是將積分運算變?yōu)橛邢迾颖军c的求和運算，利用加權粒子集來近似系統(tǒng)在k時刻狀態(tài)的后驗概率分布，其估計公式為：

（4）

一般情況下，狀態(tài)的后驗分布不存在解析形式或者過于復雜，難以采樣。此時就需要通過重要性采樣來進行近似。在標準粒子濾波中，常選取狀態(tài)轉移密度函數(shù)為次優(yōu)重要性密度函數(shù)，公式如下：

（5）

常規(guī)的粒子濾波算法為了解決次優(yōu)重要性函數(shù)由于權值方差增大帶來的粒子退化的影響，加入了重采樣步驟，其主要思想是拋棄那些權值小的粒子,復制那些權值大的粒子，但同時也帶來了新的問題——重采樣后粒子多樣性的喪失，具有較大權值的粒子被多次選取，經(jīng)過若干次迭代后，樣本權值的方差會隨時間逐漸增大，所有的粒子都集中在一個點上，導致了粒子的貧化。

3利用聚類粒子群優(yōu)化算法對粒子濾波的改進

3.1粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）[7]的核心思想是群體中個體之間的信息共享能提供進化的優(yōu)勢。在求解最優(yōu)化問題時,通常將所求問題的解設計為搜索空間中的一個粒子,第i個粒子由三部分組成：當前位置、飛行速度和粒子的適應度fitness組成。在迭代的過程中,粒子通過更新兩個“極值”來更新自己:一個是粒子本身所找到的最優(yōu)解,記為；另一個是整個粒子群目前所找到的最優(yōu)解,記為。在找到兩個最優(yōu)解以后,每一個粒子通過以下公式更新自己的速度和位置:

（6）

（7）

其中、分別是第i個粒子當前的位置和飛行速度，為認知系數(shù)，是[0,1]之間的隨機數(shù)。適應度值是用來衡量搜索空間內(nèi)位置優(yōu)劣，驅(qū)使各粒子朝著搜索空間內(nèi)個體最優(yōu)和到目前為止發(fā)現(xiàn)的全局最優(yōu)方向移動。

3.2本文改進算法

如上所述，粒子群優(yōu)化算法是通過不斷更新粒子在搜索空間中的速度和位置來尋找最優(yōu)值，其特性與粒子濾波方法中通過不斷更新粒子的位置和權重值來逼近系統(tǒng)的真實后驗概率分布相近，而且粒子群優(yōu)化算法中適應度函數(shù)最優(yōu)的點即為空間最優(yōu)值，這與粒子濾波中權值較大的粒子更有可能代表真實的運動狀態(tài)相類似。基于以上兩點，對粒子濾波算法的改進如下：

（1）系統(tǒng)初始化

通過已知隨機動態(tài)系統(tǒng)先驗概率密度分布得到初始粒子：，每個粒子對應的初始權值為

。

將粒子集分為幾個聚類后，根據(jù)公式（6）、（7）分別對每個聚類運用粒子群算法優(yōu)化，不斷根據(jù)最優(yōu)值來更新每個粒子的速度與位置,使得粒子不斷地向真實狀態(tài)靠近。其中，為慣性權重[9]，采用自適應調(diào)整，取值范圍在[0.9，0.4]之間。在尋優(yōu)的初期，為了增強算法的全局搜索能力，慣性權重隨種群多樣性的增加而增大；在尋優(yōu)的后期，為了增強算法的局部搜索能力，其隨著搜索的進行而線性地減小。

通過移動粒子群中的粒子使其向每個聚類的最優(yōu)粒子靠近,粒子群優(yōu)化算法實質(zhì)是驅(qū)動所有的粒子向高似然概率區(qū)域移動，使所有粒子都能更好的分布在真實狀態(tài)附近，提高每個粒子的作用效果，增加了粒子的多樣性。優(yōu)化后的粒子集為。

（4）更新粒子權值并歸一化：

（11）

（12）

（5）進行重采樣：

4仿真實驗及結果分析

圖1不同算法的跟蹤性能比較

從圖1可以看出，本文的改進算法IPF相比APF算法更接近于對真實值的跟蹤，精度更高，波動更小。為了進一步驗證本文改進算法的性能，采用多次蒙特卡洛實驗的均方根誤差(RMSE)作為評價指標，RMSE的定義為：

圖2 400次蒙特卡洛實驗的RMSE對比

兩種算法的RMSE的均值和方差，以及平均運行時間如表1所示：

從表1可以看出，本文提出的IPF方法在性能上優(yōu)于APF算法。與APF算法相比，IPF算法通過采樣時對粒子進行優(yōu)化，由單個粒子個體尋優(yōu)與整個粒子群全局尋優(yōu)相結合，使遠離真實狀態(tài)的粒子趨向于真實狀態(tài)出現(xiàn)概率較大的區(qū)域,提高了每個粒子的作用效果，有效地抑制了粒子的貧化。而APF算法由于狀態(tài)噪聲過大，單個樣本不足以對狀態(tài)轉移密度函數(shù)進行精確近似，故使得基于以單個樣本近似的狀態(tài)轉移密度函數(shù)的二次采樣的樣本質(zhì)量變差，因此跟蹤效果并不十分理想。

5.結論

本文提出了一種利用聚類粒子群采樣的粒子濾波算法。該算法先通過聚類算法將樣本采樣的粒子集分為幾個聚類，然后利用粒子群優(yōu)化算法使每個聚類的粒子通過更新其速度和位置向最優(yōu)粒子靠近，其實質(zhì)是粒子向高似然區(qū)域移動，因此有效地降低了粒子貧化現(xiàn)象，增加了粒子的多樣性，提高了粒子的利用率。實驗結果表明，本方法的濾波效果優(yōu)于輔助粒子濾波算法（AFP）。