0 引言

轉動慣量(Moment of Inertia)是剛體繞軸轉動時慣性（回轉物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性）的量度，用字母I或J表示。轉動慣量在旋轉動力學中的角色相當于線性動力學中的質量，可形象地理解為一個物體對于旋轉運動的慣性。轉動慣量對伺服系統(tǒng)的精度、穩(wěn)定性、動態(tài)響應都有不小影響，伺服系統(tǒng)應用中，折算到電機軸的負載慣量與電機的慣量之比不能過大，必須合理取值，否則，系統(tǒng)一般會出現(xiàn)振蕩甚至失控。但為何需要合適的慣量比，而且這個推薦的慣量比，在實踐中如何取值比較合理，這些都是工程師常感到困惑的問題。

1 、伺服電機負載慣量比的適宜性分析

1.1 慣量匹配- -最佳的功率傳輸和最大加速度

所有的機械系統(tǒng)都存在一定程度的彈性（也即剛性是無法無窮大的），而有部分機械系統(tǒng)則存在背隙。這兩種的任何一種達到了一定程度時，都會導致系統(tǒng)響應性能極差。因此所謂的慣量不匹配可能導致的問題，其實是由于機械剛性不足，可能存在著較大的彈性或背隙而可能產生的運動不穩(wěn)定問題。伺服系統(tǒng)中我們需要控制的運動量是負載端的位置或轉速，但實際上卻是以安裝在電機上的反饋裝置檢測到的位置或轉速信號來代替目標負載控制量，而由于剛性的有限性，這種控制方式在一定條件下，特別是慣量比太大時，較大概率會出現(xiàn)不穩(wěn)定問題。

要提高系統(tǒng)的快速響應性，首先必須提高機械傳動部件的諧振頻率，即提高機械傳動部件的剛性和減小機械傳動部件的慣量。其次通過增大阻尼壓低諧振峰值也能為提高快速響應性創(chuàng)造條件。在不少裝備應用中，機械傳動部件剛性不足和慣量過大是很普遍的。因此在滿足部件強度和剛度的前提下，應盡可能減小運動部件的慣量。

對于一個特定的電動機，如果采用減速機構，使歸算到電動機軸上的負載慣量與電動機的慣量相匹配（負載慣量等于電機慣量，即慣量比為1），在忽略減速器所增加的慣量和效率損失的情況下，系統(tǒng)就能實現(xiàn)最佳的功率傳輸，并能得到最大的負載加速度，這就是慣量匹配的涵義。文獻[5]也有類似解讀。

但是在國內習慣用“慣量匹配”的概念來代替“合適慣量比”的概念。國外的慣量比研究中，基本都不提“慣量匹配”的概念，而是提“慣量不匹配”（Inertia Mismatch）的概念。如文獻[2]、[3]、[4]，都是基于絕大部分伺服系統(tǒng)應用都是“慣量不匹配”的實際情況下，研究如何實現(xiàn)伺服系統(tǒng)快響應又不產生不穩(wěn)定問題。

文獻[1]從加速度最大的原則出發(fā)，推導了負載慣量、電機慣量、減速比三者的關系符合公式（1）時，可以實現(xiàn)負載慣量匹配。

對于負載已經確定，而且電動機也已選定的系統(tǒng)而言，如果減速機構的減速比按照公式（1）來選取時，則稱為最佳減速比，這時歸算到電動機軸上的負載慣量與電動機的慣量實現(xiàn)了所謂的慣量匹配（即慣量比為1）。

文獻[5]從負載功率變化率最大的原則出發(fā)，也推導出負載慣量與電動機的慣量相等時，實現(xiàn)了慣量匹配。

但在實際應用中考慮到減速機構本身的慣量、減速機構的低效、減速機構輸入軸及電機的最高速度限制、機械空間限制、成本等原因，絕大部分裝備制造業(yè)中應用的伺服驅動系統(tǒng)，減速機的選擇都不是按照最佳減速比來確定的，也即負載慣量與電機慣量一般是不匹配的。因此工程應用中要研究的不是實現(xiàn)負載慣量匹配，而是實現(xiàn)負載慣量與電機慣量的比率在合理的范圍，確保系統(tǒng)的快速響應同時能穩(wěn)定運行即可。

1.2 常用傳動機構適宜慣量比推薦值范圍

在應用中需仔細考慮電機所驅動機械機構的類型（因為不同傳動機構有不同的剛性）并采用適宜的慣量比。表1列出了不同類型的減速機構所具有的

比值的不同推薦值范圍。(注：為加入減速機構之后，歸算到電動機軸上的負載慣量。而JL則是不加入減速機構的負載慣量)

表1常用傳動機構適宜慣量比 推薦指范圍

對表1應用補充說明:

當需要頻繁快速啟停時，為了保證足夠的加速度使系統(tǒng)響應快速和滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求，則慣量比的選取宜往下限靠，可以考慮慣量比不要超過表1中最大值的一半來選取。

1.3 負載慣量比太大的不利影響分析及實驗結論

伺服驅動系統(tǒng)負載慣量比過大時，系統(tǒng)一般會出現(xiàn)振蕩甚至失控。如果系統(tǒng)傳動剛性為無窮大，理論上負載慣量比也可以設置到無窮大。連軸方式的扭轉剛性，以及負載慣量比都會影響振蕩的頻率和幅度，不過連軸方式的扭轉剛性的影響程度大得多。如果希望根除系統(tǒng)振蕩現(xiàn)象，更多的時候應該從增大系統(tǒng)傳動剛性的角度下功夫。提高電機與負載之間的連軸器的抗扭剛度，可以提升振蕩頻率，同時可降低振蕩的幅度。文獻[4]的研究測試結果表明，如果連軸方式的扭轉剛性較低，即使在負載慣量匹配（負載慣量比為1）的條件下，速度響應也可能會出現(xiàn)振蕩的不穩(wěn)定情況。

為了研究負載慣量比過大對伺服驅動系統(tǒng)的影響，在文獻[3]中，做了電機帶不同慣量負載的兩類測試。兩類測試結果結論如下：

1） 兩種測試中，在一定的慣量比情況下，系統(tǒng)都能夠運行穩(wěn)定而且速度響應都無超調或振蕩。（注意在不是慣量匹配，而是慣量比為5的條件下，伺服系統(tǒng)響應仍能夠很穩(wěn)定）

2） 相對于初始調試好驅動器參數(shù)時的慣量值，隨著負載慣量較大幅度增大或減少，負載響應變得很差。例如測試一中，慣量比增大到一定程度之后，速度嚴重超調，甚者振蕩，振蕩的頻率較低，而且隨著負載慣量的增大，整定時間越來越長。在測試二中，相對于初始調試好驅動器參數(shù)時的慣量值，隨著負載慣量的減少，在減少到小于初始調試好驅動器參數(shù)時的慣量值的一半時，系統(tǒng)就變得不穩(wěn)定了，而且振蕩的頻率較高。

1.4 解決負載慣量比太大的策略

為了消除由于負載慣量與電動機慣量之間的不匹配倍數(shù)太大引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定，可以采取以下幾項措施：

1） 首先是提高機械系統(tǒng)的剛度。（例如，提高連軸器的抗扭剛度，可以提升響應的振蕩頻率，同時可降低振蕩的幅度）

2） 其次采用合適的減速機構（如減速箱、同步帶輪減速等），盡可能把負載慣量與電動機慣量之間的不匹配程度降到最小。（推薦適宜慣量比見表1）

3） 在上述措施無效的情況下，可以采取增加電動機慣量的方法，盡可能把負載慣量與電動機慣量之間的不匹配程度降到最小。增加電機轉動慣量可以明顯降低諧振點諧振幅值，提高伺服系統(tǒng)穩(wěn)定性。但要注意電機的體積、成本一般是隨著額定轉矩增大而升高的，因此為了慣量比合理而選用更大電機慣量的電機時，最好選用轉矩定額一樣的，而僅慣量較大的電機。這樣才能避免電機體積、成本大增。

4） 另一種解決方案是采用考慮了連軸扭曲量的高階伺服驅動系統(tǒng)，該系統(tǒng)需要用到電機本體的位置反饋、同時還需要負載端的位置反饋，構成全閉環(huán)系統(tǒng)。這種系統(tǒng)可以有更快、更穩(wěn)的瞬態(tài)響應。

2 、負載慣量計算及電機選型舉例

雷賽公司的交流伺服電機一般有不同慣量的型號可供用戶選用，如60、80機座電機都有中慣量和小慣量兩種。下面通過兩個常見案例負載慣量計算，合理電機選型，來說明減小慣量不匹配的方法。

2.1 絲桿結構

已知：負載重量m=200kg，螺桿螺距Pb=20mm螺桿直徑Db=50mm，螺桿重量mb=40kg，摩擦系數(shù)μ=0.002，機械效率η=0.9，負載移動速度V=30m/min，全程移動時間t=1.4s，加減速時間t1=t3=0.2s，靜止時間t4=0.3s。請選擇滿足負載需求的最小功率伺服電機。

解：1） 計算折算到電機軸上的負載慣量

重物折算到電機軸上的轉動慣量

2）計算電機轉速

電機所需轉速 N = V / PB= 30 / 0.02= 1500 rpm

3） 計算電機驅動負載所需要的扭矩

克服摩擦力所需轉矩

=( 200 * 9.8 * 0.002 * 0.02 )/ 2π / 0.9 = 0.01387 Nm

重物加速時所需轉矩

= 200 * (30 / 60 / 0.2) * 0.02 / 2π / 0.9 = 1.769 Nm

螺桿加速時所需要轉矩

= 0.0125 * (1500 * 6.28 / 60 / 0.2) / 0.9 = 10.903 Nm

所需最大轉矩

選定電機方案：運動系統(tǒng)總慣量為145.29kg*cm2，需要最大轉矩為12.686Nm。雷賽ACM13030M2E-51-B電機，額定轉速2500RPM，額定力矩12NM，轉子慣量29kg*cm2，負載慣量比=145.29/29≈5倍，符合表1的負載慣量比推薦值范圍。

2.2 同步輪結構

已知：快速定位運動模型中，負載重量M=5kg，同步帶輪直徑D=60mm，D1=90mm，D2=30mm，負載與機臺摩擦系數(shù)μ=0.003，負載最高運動速度2m/s，負載從靜止加速到最高速度時間100ms，忽略各傳送帶輪重量，選擇伺服電機。

選定電機方案：

由上述計算結果,可選擇雷賽伺服電機ACM6006L2H（額定轉矩1.9NM，額定轉速3000RPM，電機慣量0.6 kg.cm^2），慣量比為：5 / 0.6=8.3倍。

筆者在一些客戶現(xiàn)場發(fā)現(xiàn)， 有部分用戶選用了以下型號電機：ACM6004L2H（額定力矩1.27NM，峰值轉矩3.81NM，額定轉速3000RPM，電機慣量0.42 kg.cm^2）。如果選擇了此方案，系統(tǒng)慣量比為5/0.42=11.9倍，動態(tài)響應性能及定位完成時間都會比選擇ACM6006L2H伺服方案要差，合理的慣量比對整個運動系統(tǒng)的動態(tài)性能有很大的提升。

3、 結論

歸算到電動機軸上的負載慣量與電動機的慣量比為1時，我們稱之為慣量匹配。但在實際應用中絕大部分負載慣量是不匹配的。因此我們要研究的不是實現(xiàn)慣量匹配，而是實現(xiàn)負載慣量與電機慣量的比率在合理的范圍。

要提高伺服系統(tǒng)的快速響應特性，首先必須提高機械傳動部件的諧振頻率，即提高機械傳動部件的剛性和減小機械傳動部件的慣量。其次通過增大阻尼壓低諧振峰值也能提高快速響應特性創(chuàng)造條件。第三，如果負載慣量較大時，可以考慮采用減速機構，實現(xiàn)負載慣量與電機慣量之間的慣量比在合適范圍（具體見表1）。在部分應用案例中，也可以考慮選用慣量更大的電機，來滿足降低慣量比，提高加速性能和穩(wěn)定性的要求。最后，伺服驅動控制算法很多新技術的成功應用，也為伺服系統(tǒng)更高精度、高平穩(wěn)性運行提供了可能。

雷賽簡介

雷賽智能是智能裝備運動控制領域的世界知名品牌和行業(yè)領軍企業(yè)。

自1997年成立以來，雷賽一直以“替代人類手工勞動”為企業(yè)使命、聚焦于伺服電機驅動系統(tǒng)、步進電機驅動系統(tǒng)、運動控制卡、運動控制器等系列精品的研發(fā)、生產、銷售和服務，并通過鍥而不舍、點點滴滴的持續(xù)努力來成就客戶夢想和實現(xiàn)共同成長。

經過二十年如一日的產品創(chuàng)新、市場開拓和應用服務，雷賽已經成為全球產銷規(guī)模領先的運動控制產品和解決方案提供商。由于雷賽產品兼具穩(wěn)定可靠和性能優(yōu)越的雙重優(yōu)勢，在電子、機器人、機床、激光、醫(yī)療、紡織等行業(yè)獲得上萬家優(yōu)秀設備廠家的長期使用，且遠銷美國、德國、印度等60多個國家。