ExplorationandExploitation(EE問(wèn)題，探索與開發(fā))是計(jì)算廣告和推薦系統(tǒng)里常見的一個(gè)問(wèn)題，為什么會(huì)有EE問(wèn)題？簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，是為了平衡推薦系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和多樣性。

EE問(wèn)題中的Exploitation就是：對(duì)用戶比較確定的興趣，當(dāng)然要利用開采迎合，好比說(shuō)已經(jīng)掙到的錢，當(dāng)然要花；而exploration就是：光對(duì)著用戶已知的興趣使用，用戶很快會(huì)膩，所以要不斷探索用戶新的興趣才行，這就好比雖然有一點(diǎn)錢可以花了，但是還得繼續(xù)搬磚掙錢，不然花完了就得喝西北風(fēng)。

2、Bandit算法

Bandit算法是解決EE問(wèn)題的一種有效算法，我們先來(lái)了解一下Bandit算法的起源。Bandit算法來(lái)源于歷史悠久的賭博學(xué)，它要解決的問(wèn)題是這樣的：

一個(gè)賭徒，要去搖老虎機(jī)，走進(jìn)賭場(chǎng)一看，一排老虎機(jī)，外表一模一樣，但是每個(gè)老虎機(jī)吐錢的概率可不一樣，他不知道每個(gè)老虎機(jī)吐錢的概率分布是什么，那么每次該選擇哪個(gè)老虎機(jī)可以做到最大化收益呢？這就是多臂賭博機(jī)問(wèn)題（Multi-armedbanditproblem,K-armedbanditproblem,MAB）。

怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢？最好的辦法是去試一試，不是盲目地試，而是有策略地快速試一試，這些策略就是Bandit算法。

Bandit算法如何同推薦系統(tǒng)中的EE問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)呢？假設(shè)我們已經(jīng)經(jīng)過(guò)一些試驗(yàn)，得到了當(dāng)前每個(gè)老虎機(jī)的吐錢的概率，如果想要獲得最大的收益，我們會(huì)一直搖哪個(gè)吐錢概率最高的老虎機(jī)，這就是Exploitation。但是，當(dāng)前獲得的信息并不是老虎機(jī)吐錢的真實(shí)概率，可能還有更好的老虎機(jī)吐錢概率更高，因此還需要進(jìn)一步探索，這就是Exploration問(wèn)題。

下面，我們就來(lái)看一下一些經(jīng)典的Bandit算法實(shí)現(xiàn)吧，不過(guò)我們還需要補(bǔ)充一些基礎(chǔ)知識(shí)。

3、基礎(chǔ)知識(shí)

3.1累積遺憾

Bandit算法需要量化一個(gè)核心問(wèn)題：錯(cuò)誤的選擇到底有多大的遺憾？能不能遺憾少一些？所以我們便有了衡量Bandit算法的一個(gè)指標(biāo)：累積遺憾：

這里t表示輪數(shù),r表示回報(bào)。公式右邊的第一項(xiàng)表示第t輪的期望最大收益，而右邊的第二項(xiàng)表示當(dāng)前選擇的arm獲取的收益，把每次差距累加起來(lái)就是總的遺憾。

對(duì)應(yīng)同樣的問(wèn)題，采用不同bandit算法來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)相同的次數(shù)，那么看哪個(gè)算法的總regret增長(zhǎng)最慢，那么哪個(gè)算法的效果就是比較好的。

3.2Beta分布

有關(guān)Beta分布，可以參考帖子：https://www.zhihu.com/question/30269898。這里只做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹。beta分布可以看作一個(gè)概率的概率分布。它是對(duì)二項(xiàng)分布中成功概率p的概率分布的描述。它的形式如下：

其中，a和b分別代表在a+b次伯努利試驗(yàn)中成功和失敗的次數(shù)。我們用下面的圖來(lái)說(shuō)明一下Beta分布的含義：

上圖中一共有三條線，我們忽略中間的一條線，第一條線中a=81，b=219。也就是說(shuō)在我們進(jìn)行了300次伯努利試驗(yàn)中，成功81次，失敗219次的情況下，成功概率p的一個(gè)分布，可以看到，p的概率在0.27左右概率最大，但我們不能說(shuō)成功的概率就是0.27，這也就是頻率派和貝葉斯派的區(qū)別，哈哈。此時(shí)，我們又做了300次試驗(yàn)，此時(shí)在總共600次伯努利試驗(yàn)中，成功了181次，失敗了419次，此時(shí)成功概率p的概率分布變味了藍(lán)色的線，在0.3左右概率最大。

4、經(jīng)典Bandit算法原理及實(shí)現(xiàn)

下文中的收益可以理解為老虎機(jī)吐錢的觀測(cè)概率。

4.1樸素Bandit算法

先隨機(jī)試若干次，計(jì)算每個(gè)臂的平均收益，一直選均值最大那個(gè)臂。

4.2Epsilon-Greedy算法

選一個(gè)(0,1)之間較小的數(shù)epsilon，每次以epsilon的概率在所有臂中隨機(jī)選一個(gè)。以1-epsilon的概率選擇截止當(dāng)前，平均收益最大的那個(gè)臂。根據(jù)選擇臂的回報(bào)值來(lái)對(duì)回報(bào)期望進(jìn)行更新。

這里epsilon的值可以控制對(duì)exploit和explore的偏好程度，每次決策以概率ε去勘探Exploration，1-ε的概率來(lái)開發(fā)Exploitation，基于選擇的item及回報(bào)，更新item的回報(bào)期望。

對(duì)于Epsilon-Greedy算法來(lái)首，能夠應(yīng)對(duì)變化，即如果item的回報(bào)發(fā)生變化，能及時(shí)改變策略，避免卡在次優(yōu)狀態(tài)。同時(shí)Epsilon的值可以控制對(duì)Exploit和Explore的偏好程度。越接近0，越保守，只想花錢不想掙錢。但是策略運(yùn)行一段時(shí)間后，我們已經(jīng)對(duì)各item有了一定程度了解，但沒(méi)用利用這些信息，仍然不做任何區(qū)分地隨機(jī)Exploration，這是Epsilon-Greedy算法的缺點(diǎn)。

4.3Thompsonsampling算法

Thompsonsampling算法用到了Beta分布，該方法假設(shè)每個(gè)老虎機(jī)都有一個(gè)吐錢的概率p，同時(shí)該概率p的概率分布符合beta(wins,lose)分布，每個(gè)臂都維護(hù)一個(gè)beta分布的參數(shù)，即wins,lose。每次試驗(yàn)后，選中一個(gè)臂，搖一下，有收益則該臂的wins增加1，否則該臂的lose增加1。

每次選擇臂的方式是：用每個(gè)臂現(xiàn)有的beta分布產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)b，選擇所有臂產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)中最大的那個(gè)臂去搖。

4.4UCB算法

前面提到了，Epsilon-Greedy算法在探索的時(shí)候，所有的老虎機(jī)都有同樣的概率被選中，這其實(shí)沒(méi)有充分利用歷史信息，比如每個(gè)老虎機(jī)之前探索的次數(shù)，每個(gè)老虎機(jī)之前的探索中吐錢的頻率。

那我們?cè)趺茨軌虺浞掷脷v史信息呢？首先，根據(jù)當(dāng)前老虎機(jī)已經(jīng)探索的次數(shù)，以及吐錢的次數(shù)，我們可以計(jì)算出當(dāng)前每個(gè)老虎機(jī)吐錢的觀測(cè)概率p'。同時(shí)，由于觀測(cè)次數(shù)有限，因此觀測(cè)概率和真實(shí)概率p之間總會(huì)有一定的差值?，即p'-?<=p<=p'+?。

基于上面的討論，我們得到了另一種常用的Bandit算法：UCB(UpperConfidenceBound)算法。該算法在每次推薦時(shí)，總是樂(lè)觀的認(rèn)為每個(gè)老虎機(jī)能夠得到的收益是p'+?。

好了，接下來(lái)的問(wèn)題就是觀測(cè)概率和真實(shí)概率之間的差值?如何計(jì)算了，我們首先有兩個(gè)直觀的理解：1）對(duì)于選中的老虎機(jī)，多獲得一次反饋會(huì)使?變小，當(dāng)反饋無(wú)窮多時(shí)，?趨近于0，最終會(huì)小于其他沒(méi)有被選中的老虎機(jī)的?。2）對(duì)于沒(méi)有被選中的老虎機(jī)，?會(huì)隨著輪數(shù)的增大而增加，最終會(huì)大于其他被選中的老虎機(jī)。

因此，當(dāng)進(jìn)行了一定的輪數(shù)的時(shí)候，每個(gè)老虎機(jī)都有機(jī)會(huì)得到探索的機(jī)會(huì)。UCB算法中p'+?的計(jì)算公式如下：

其中加號(hào)前面是第j個(gè)老虎機(jī)到目前的收益均值，后面的叫做bonus，本質(zhì)上是均值的標(biāo)準(zhǔn)差，T是目前的試驗(yàn)次數(shù)，n是該老虎機(jī)被試次數(shù)。

為什么選擇上面形式的?呢，還得從Chernoff-HoeffdingBound說(shuō)起：

因此(下面的截圖來(lái)自于知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/32356077)：

5、代碼實(shí)現(xiàn)

接下來(lái)，我們來(lái)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)基本的Bandit算法，UCB和Thompsonsampling算法。

5.1UCB算法

代碼中有詳細(xì)的注釋，所以我直接貼完整的代碼了：

importnumpyasnpT=1000#T輪試驗(yàn)N=10#N個(gè)老虎機(jī)true_rewards=np.random.uniform(low=0,high=1,size=N)#每個(gè)老虎機(jī)真實(shí)的吐錢概率estimated_rewards=np.zeros(N)#每個(gè)老虎機(jī)吐錢的觀測(cè)概率，初始都為0chosen_count=np.zeros(N)#每個(gè)老虎機(jī)當(dāng)前已經(jīng)探索的次數(shù)，初始都為0total_reward=0#計(jì)算deltadefcalculate_delta(T,item):ifchosen_count[item]==0:return1else:returnnp.sqrt(2*np.log(T)/chosen_count[item])#計(jì)算每個(gè)老虎機(jī)的p+delta，同時(shí)做出選擇defUCB(t,N):upper_bound_probs=[estimated_rewards[item]+calculate_delta(t,item)foriteminrange(N)]item=np.argmax(upper_bound_probs)reward=np.random.binomial(n=1,p=true_rewards[item])returnitem,rewardfortinrange(1,T):#依次進(jìn)行T次試驗(yàn)#選擇一個(gè)老虎機(jī)，并得到是否吐錢的結(jié)果item,reward=UCB(t,N)total_reward+=reward#一共有多少客人接受了推薦#更新每個(gè)老虎機(jī)的吐錢概率estimated_rewards[item]=((t-1)*estimated_rewards[item]+reward)/tchosen_count[item]+=1

5.2Thompsonsampling算法

Thompsonsampling算法涉及到了beta分布，因此我們使用pymc庫(kù)來(lái)產(chǎn)生服從beta分布的隨機(jī)數(shù)，只需要一行代碼就能在選擇合適的老虎機(jī)。

np.argmax(pymc.rbeta(1+successes,1+totals-successes))