與其他地面移動(dòng)機(jī)器人不同，腿足機(jī)器人依靠腿足交替與地面接觸，腿足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)給其運(yùn)動(dòng)控制帶來了巨大挑戰(zhàn)，運(yùn)動(dòng)控制算法工程師必須小心規(guī)劃各個(gè)變量(步態(tài)、身體位姿、落腳點(diǎn)、交互力等)，以保證機(jī)器人能夠穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，并在非規(guī)則地形上體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)。

　　文/李磊

　　1 腿足運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

　　與其他地面移動(dòng)機(jī)器人不同，腿足機(jī)器人依靠腿足交替與地面接觸(一定的運(yùn)動(dòng)步態(tài)和相應(yīng)的落腳點(diǎn)/接觸點(diǎn))，通過地面反作用力GRF(即Ground Reaction Force，包括法向力用以支撐身體維持在一定高度和平衡，和切向力即利用摩擦力推動(dòng)身體前進(jìn))。由于單個(gè)腿足與地面間斷性地接觸，腿足機(jī)器人能夠自由選擇落腳點(diǎn)，以適應(yīng)不連續(xù)的地形(如溝壑、樓梯)，在不規(guī)則地形上(非鋪裝路面/不規(guī)則地形)體現(xiàn)出了良好的通用性和機(jī)動(dòng)靈活性。

　　圖1 身體位姿與接觸點(diǎn)/落腳點(diǎn)位置及其受力狀況的動(dòng)態(tài)聯(lián)系是腿足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)特征

　　腿足交替與地面接觸是為了推動(dòng)身體能夠按照一定軌跡前進(jìn)并保持平衡，其中身體位置變化可以使用質(zhì)心CoM(Center of Mass)軌跡表征，而平衡情況則可以由身體姿態(tài)描述。如圖1所示，身體位姿(表征運(yùn)動(dòng)目標(biāo))與接觸點(diǎn)/落腳點(diǎn)(包括位置與接觸力，用以實(shí)現(xiàn)特定運(yùn)動(dòng))之間的復(fù)雜動(dòng)態(tài)聯(lián)系是腿足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)特征，也是腿足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制(包含運(yùn)動(dòng)規(guī)劃、跟蹤控制與狀態(tài)估計(jì))的核心問題。值得注意的是，腿足交替與地面接觸主要指單個(gè)腿足按照一定步態(tài)在擺動(dòng)相(Swing Phase)與支撐相(Stance Phase)之間切換，對(duì)于整個(gè)機(jī)器人來說，在任意時(shí)刻可以都有腿足與地面接觸或者整體處于騰空階段。單個(gè)腿足的擺動(dòng)是為了維持身體的運(yùn)動(dòng)，擺動(dòng)至下一個(gè)合適的地點(diǎn)施加對(duì)應(yīng)的接觸力，從而接替推動(dòng)身體前進(jìn)或者維持平衡。進(jìn)一步地，腿足機(jī)器人(地面機(jī)器人，依靠地面交互力進(jìn)行運(yùn)動(dòng))的主要特點(diǎn)總結(jié)如下：

　　l 受力的位置不連續(xù)：單個(gè)腿足間斷與地面接觸并施加力，無打滑情況下只能在接觸點(diǎn)/落腳點(diǎn)處施加力;

　　l 受力的方向和比例受限制：受力方向從地面指向外部，且切向力與法向力比例受摩擦錐限制(避免打滑);

　　l 動(dòng)態(tài)耦合：質(zhì)心-落腳點(diǎn)的相互位置決定了力臂和運(yùn)動(dòng)范圍限制。

　　腿足機(jī)器人上述特點(diǎn)給其運(yùn)動(dòng)控制帶來了巨大挑戰(zhàn)，運(yùn)動(dòng)控制算法工程師必須小心規(guī)劃各個(gè)變量(步態(tài)、身體位姿、落腳點(diǎn)、交互力等)，以保證機(jī)器人能夠穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，并在非規(guī)則地形上體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)。

　　2 如何讓機(jī)器人動(dòng)起來

　　考慮到腿足機(jī)器人的本質(zhì)特征(身體位姿-落腳點(diǎn)之間的復(fù)雜動(dòng)態(tài)聯(lián)系)以及所需要的各種變量之前的協(xié)同變化和約束，腿足機(jī)器人一般采用優(yōu)化控制(Control as Optimization)的方式求解控制輸入，即根據(jù)腿足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)性能要求，確定相關(guān)目標(biāo)函數(shù)，求解出滿足各種物理約束條件下的控制/參考輸入，如圖2所示。

　　圖2 腿足機(jī)器人的優(yōu)化控制范式

　　在控制輸入方面，為使機(jī)器人能夠平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，需要確定步態(tài)(即落腳點(diǎn)相序、時(shí)間即步態(tài)類型、周期、占空比等)、落腳點(diǎn)位置、身體位姿(包括質(zhì)心位置、身體姿態(tài)等)、足端接觸力和擺動(dòng)軌跡，以及實(shí)現(xiàn)上述輸入所需要的關(guān)節(jié)力矩和運(yùn)動(dòng)軌跡(位置、速度、加速度等)。取決于應(yīng)用場(chǎng)景、性能需求和優(yōu)化方法等，部分輸入可以由不同方法確定：

　　l 可以提前指定(如步態(tài))或者根據(jù)環(huán)境感知確定(如對(duì)于Perceptive Locomotion來說，需要深度相機(jī)或者激光雷達(dá)，并對(duì)得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以得到高程圖，從而選擇合適的落腳點(diǎn))，質(zhì)心速度和轉(zhuǎn)彎速度則可以由手柄輸入;

　　l 一些控制量則可以根據(jù)已知的其他控制量確定(如對(duì)于采用倒立擺模型運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，可以根據(jù)落腳點(diǎn)位置確定質(zhì)心位置，或者相反)，根據(jù)足端接觸力/擺動(dòng)軌跡，確定關(guān)節(jié)力矩和軌跡軌跡等;

　　l 根據(jù)采用的優(yōu)化控制方法不同，部分控制量可以同時(shí)確定，如采用非線性優(yōu)化方法可以同時(shí)求解落腳點(diǎn)位置和質(zhì)心位置，采用混合優(yōu)化方法，還可以優(yōu)化求解步態(tài)相關(guān)參數(shù)。

　　取決于采用的動(dòng)力學(xué)模型(如果采用的模型沒有相關(guān)輸入，則無法考慮相關(guān)約束，如在準(zhǔn)直驅(qū)關(guān)節(jié)模塊應(yīng)用之前，無法對(duì)足端力進(jìn)行低成本、高帶寬控制，機(jī)器人一般采用倒立擺模型，則無法在規(guī)劃中對(duì)足端接觸力進(jìn)行約束，詳細(xì)參考下節(jié)動(dòng)力學(xué)模型介紹)，求解的控制輸入?yún)?shù)必須滿足相關(guān)的約束，如運(yùn)動(dòng)約束(關(guān)節(jié)力矩、關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍、質(zhì)心與足端相對(duì)位置不能過遠(yuǎn))、動(dòng)力學(xué)約束、接觸力約束(大小、方向、比例、動(dòng)態(tài)等)、穩(wěn)定性約束(如采用倒立擺類模型相關(guān)的ZMP相關(guān)約束等)。物理約束、目標(biāo)函數(shù)的確定和實(shí)際運(yùn)動(dòng)性能息息相關(guān)，也受優(yōu)化方法影響(如需要相關(guān)正則項(xiàng)，滿足特定的優(yōu)化問題形式)。

　　在運(yùn)動(dòng)規(guī)劃/控制方面，基于相關(guān)動(dòng)力學(xué)模型，通常采用運(yùn)動(dòng)軌跡優(yōu)化、模型預(yù)測(cè)控制MPC(時(shí)域滾動(dòng)優(yōu)化，抗干擾能力更強(qiáng))、WBC或者上述方法的結(jié)合等。深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)作為一種端到端的控制方法，近年來也得到應(yīng)用，并且顯示出了泛化性和魯棒性，考慮到強(qiáng)化學(xué)習(xí)求解最優(yōu)策略的思路和動(dòng)態(tài)規(guī)劃(Bellman方程，值迭代方法)以及變分法(HJB方程，策略迭代方法)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，仍屬于優(yōu)化控制的范疇，留待后續(xù)再進(jìn)行詳細(xì)介紹。

　　3 腿足機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

　　如同在控制算法手記-先學(xué)習(xí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模和分析所述，為做好腿足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制，必須對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為本質(zhì)特點(diǎn)以及相關(guān)模型有所了解。腿足機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型決定了哪些輸入-輸出關(guān)系或者物理約束可以被近似描述(模型只是對(duì)物理過程的近似數(shù)學(xué)描述)。優(yōu)化控制采用的動(dòng)力學(xué)模型不同，在優(yōu)化控制中所考慮/包含的物理過程不同，機(jī)器人實(shí)際所能處理的情況和運(yùn)動(dòng)性能表現(xiàn)自然也有所差別。對(duì)于動(dòng)力學(xué)模型的選擇，需要以運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)要求為依據(jù)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)控制框架綜合考慮運(yùn)算性能(復(fù)雜模型會(huì)引入非線性、非凸性，使得優(yōu)化算法求解收斂難度增大，需要較好的初始條件或者迭代更新頻率降低)、部署實(shí)施方式和成本等各項(xiàng)因素。

　　圖3 腿足機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

　　圖3列出了幾種常見的腿足動(dòng)力學(xué)模型及其相關(guān)的方程式(輸入-輸出關(guān)系)，從左到右分別為全身動(dòng)力學(xué)模型(Whole-Body Dynamics)、慣性中心動(dòng)力學(xué)模型CD(Centroidal Dynamics)、單剛體動(dòng)力學(xué)模型SRBD(Single Rigid Body Dynamics)和線性倒立擺模型LIP(Linear Inverted Pendulum)，以上模型假設(shè)逐漸增多，模型也逐步簡化，具體介紹如下：

　　l 全身動(dòng)力學(xué)模型，該模型將機(jī)器人視作各個(gè)剛體連接而成并表示在關(guān)節(jié)空間中(與機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程形式相同)，其輸入即為腿足機(jī)器人的實(shí)際輸入(即關(guān)節(jié)力矩)。該式可以進(jìn)一步分解成兩個(gè)式子，分別用以描述身體/浮動(dòng)基動(dòng)(Floating base)力學(xué)和腿足關(guān)節(jié)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，其中浮動(dòng)基動(dòng)力學(xué)部分表明其依靠接觸力間接控制的本質(zhì)，腿足關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)部分則為一全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。全身動(dòng)力學(xué)模型綜合考慮浮動(dòng)基/身體和腿足之間的動(dòng)力學(xué)耦合關(guān)系，一般多用于全身運(yùn)動(dòng)控制WBC(即接觸力參考、身體運(yùn)動(dòng)軌跡已知，求解關(guān)節(jié)速度/加速度和力矩的情況)，進(jìn)一步提升運(yùn)動(dòng)的機(jī)動(dòng)性和柔順性;

　　l 慣性中心動(dòng)力學(xué)模型將每個(gè)剛體的速度/動(dòng)量映射/折算到一個(gè)以質(zhì)心為坐標(biāo)系原點(diǎn)的統(tǒng)一坐標(biāo)系中，式中矩陣A為慣性中心動(dòng)量矩陣(Centroidal Momentum Matrix)，r(q)為質(zhì)心位置，依賴關(guān)節(jié)角度，fi為處于位置pi(q)的第i個(gè)落腳點(diǎn)所受到的力(q表示上述變量對(duì)腿足關(guān)節(jié)構(gòu)型的依賴)。慣性中心動(dòng)力學(xué)模型將所有剛體映射到質(zhì)心的平移動(dòng)量和角動(dòng)量變化直接與外界受力聯(lián)系起來(而不是關(guān)節(jié)力矩)，更加接近腿足機(jī)器人通過接觸力間接控制的特點(diǎn);

　　l 單剛體動(dòng)力學(xué)模型假設(shè)(由關(guān)節(jié)速度產(chǎn)生的動(dòng)量可以忽略，全身慣量近似保持不變-與關(guān)節(jié)標(biāo)稱位置對(duì)應(yīng)的慣量相等)，消除了慣性中心動(dòng)力學(xué)對(duì)關(guān)節(jié)角度的依賴，使得動(dòng)力學(xué)模型近似正確。實(shí)際中，上述假設(shè)的有效性是通過輕量化設(shè)計(jì)的腿部設(shè)計(jì)保證(腿足慣量占到全身慣量的10%左右，如果腿部設(shè)計(jì)相對(duì)較重，則一般移動(dòng)較慢，且不會(huì)偏離標(biāo)稱位置過多，上述假設(shè)仍然近似成立)。通過單剛體動(dòng)力學(xué)模型考慮了浮動(dòng)基6個(gè)移動(dòng)自由度以及施加上浮動(dòng)基上力fi以及其相對(duì)質(zhì)心的位置(r-pi)，將關(guān)節(jié)變量完全從浮動(dòng)基動(dòng)力學(xué)中獨(dú)立出來，降低了運(yùn)動(dòng)規(guī)劃難度(在腿足運(yùn)動(dòng)中，通常不太關(guān)系腿足關(guān)節(jié)如何配置，只要末端足部在給定位置上);

　　l 線性倒立擺模型假設(shè)(質(zhì)心高度保持不變，浮動(dòng)基角速度和角加速度可以忽略，且落腳點(diǎn)高度恒定)，消除了單剛體模型中的叉乘依然引入的非線性，使得模型整體可以進(jìn)行解析求解，為步態(tài)規(guī)劃提供了極大的方便(參考 Introduction to Humanoid Robotics)。式中pc、x為壓力中心CoP(Center of Pressure，可以認(rèn)為與零力矩點(diǎn)ZMP等效)，可以通過第i個(gè)落腳位置以及垂直力進(jìn)行調(diào)整，通過該模型描述了如何通過壓力中心影響水平方向的質(zhì)心加速度。然而，由于過多的簡化，使得上述對(duì)于復(fù)雜場(chǎng)景體現(xiàn)出了諸多局限性(如身體轉(zhuǎn)向以達(dá)到特定落腳點(diǎn)、使用不同高度的落腳點(diǎn)以穿越非均勻地形)。該模型的輸入為壓力中心(由各個(gè)接觸力豎直分量組合決定)，這種抽象喪失了關(guān)于每個(gè)落腳點(diǎn)豎直力具體分量以及相應(yīng)的切向分量的信息，其穩(wěn)定性主要由ZMP相對(duì)支撐多邊性的位置關(guān)系間接保證。實(shí)際上，每個(gè)落腳點(diǎn)的3維接觸力對(duì)于浮動(dòng)基移動(dòng)以及實(shí)際物理限制(諸如摩擦錐限制)至關(guān)重要，將上述信息都折算到一個(gè)壓力中心使得難以對(duì)腿足機(jī)器人諸多特性進(jìn)行準(zhǔn)確分析。除了線性倒立擺模型，還有一系列其他的倒立擺模型(如彈簧倒立擺SLIP，變高度倒立擺等)以及相關(guān)引申出的概念(如動(dòng)態(tài)發(fā)散分量DCM，捕獲點(diǎn)CP、VRP等)用于更復(fù)雜的步態(tài)生成或者簡化步態(tài)規(guī)劃，這里不再一一介紹了。

　　4 總結(jié)

　　得益于硬件平臺(tái)的逐步成熟和相關(guān)控制算法、工具的開源，腿足機(jī)器人在近些年得到了廣泛關(guān)注。一方面，由于其欠驅(qū)動(dòng)、通過接觸力間接控制和混合系統(tǒng)的本質(zhì)，使得其運(yùn)動(dòng)控制方法體系迥然不同于工業(yè)運(yùn)動(dòng)控制，控制由跟蹤控制(控制指令一般由工藝過程給定，相對(duì)較為明確)轉(zhuǎn)化為規(guī)劃-控制一體化趨勢(shì)(運(yùn)動(dòng)規(guī)劃與動(dòng)力學(xué)行為息息相關(guān))，控制范式也主要轉(zhuǎn)為以優(yōu)化方法為基礎(chǔ)的軌跡優(yōu)化/模型預(yù)測(cè)等，相關(guān)運(yùn)動(dòng)控制經(jīng)驗(yàn)無法有效復(fù)用，對(duì)于具有機(jī)電背景進(jìn)入這一領(lǐng)域的人來說，存在不小的挑戰(zhàn);另一方面，腿足控制領(lǐng)域相關(guān)模型/控制算法的成果層出不窮，如何正確理解其原理和發(fā)展脈絡(luò)，難度進(jìn)一步加大。作為開始，本文針對(duì)上述問題，根據(jù)公開文獻(xiàn)，做了些初步梳理和嘗試。